稳定币为一种锚定法定货币价值的虚拟货币，可在这动荡的市场中作为相对可靠的避险资产。以美元为例，市场常见且流通性足够的美元稳定币就超过 3 种，每种的应用场景及背后的风险皆不相同，因而市场上产生了稳定币之间互换的需求。
本文将探讨 Curve 这个去中心化的稳定币互换协议。先从 Balancer 出发，根据需求修改模型，一步步推导出 Curve 所使用的公式。再根据该模型的特性分析其优缺点及相关延伸应用。

稳定币稳定吗？
理想上，美元稳定币的价值应恒等于 1 USD，但实际上却常有着不小的波动，其中一个原因为每种稳定币的发行机制不同，而对应了不一样的风险。
发行机制可简单分为下列三种：
1. 法币资产抵押型：
以实际美元做为抵押而发行，会有储备金不足造成的挤兑风险。
最具代表性的为 Tether 发行的 USDT 及 Coinbase 与 Circle 发行的 USDC。
2. 加密资产抵押型：
以加密资产作为抵押而发行，其稳定性会受该抵押品的价值而影响。
最具代表性的为 MakerDAO 抵押 ETH 发行的 DAI，及 Synthetix 抵押 SNX 发行的 sUSD。
3. 合成资产型：
以各种稳定币合成铸造，只要其中一个币种出问题就会连带影响全部。
例如 mUSD 理想上是由五种常见稳定币合成而成的。
此外，稳定币也如同其他币种一般，会因市场供需而产生不一样的价格。如流动性挖矿热潮中，不少农场以 DAI 做为农具，就使得 DAI 的价格迅速攀升。

由上图可见，稳定币其实不太稳定。
特别是在 312 惨案时，为避免 MakerDAO 中的抵押物 ETH 被清算而导致 DAI 的需求量突然大增使币价大涨，当时在一些交易所甚至出现超过 10% 的溢价。
综合以上所述，价差源自于需求及风险的不同，价格则是在交易中产生，所以市场上需要一个能交换各种的环境。

在 Balancer 建立资金池？
要想建立一个能交换多种稳定币的环境，一个简单的方式就是直接在 Balancer 中建立一个资金池，其中包含了各种稳定币，且让每个币种有着相同的权重。
池内各资产数量会遵守以下方程式：

Balancer AMM 模型，设各币种权重相等

此模型称作恒定乘积做市商 (Constant Product Market Maker)。由于一次的互换仅与两个变数有关，其他变数可暂时当作常数。

为方便说明，假设 x 为池内 USDC 总量，y 为 池内 DAI 总量，将方程式作图如下：

现价等于该点切线之斜率（取绝对值）

图中 A 点位置为池内两个币种存量相等时，此时互换的比率为 1 : 1，对于稳定币来说是最理想的价格。但由于 Balancer 曲线的特性，一旦有人交易使蓝点移动后，价格就会明显改变。

举例来说，若有人卖出大量USDC ，使池内USDC 数量增加30%（A 点移至B 点），则价格会从1 DAI/USDC 掉至0.56 DAI/USDC，这对于稳定币来说几乎是不可能被接受的价格。
若希望价格波动能控制在 1 DAI/USDC ±2% 内，则一次交易的量必须小于池内资金量的 1%。这代表资金使用率极低，交易量非常小，所以手续费收入非常少，如此一来无法吸引人投入更多流动性，流动性低造成价格更不稳定，如此反覆产生了负面循环。
由以上分析可知，Balancer 并不适合作为稳定币的交易所，此模型函数曲率过大，价格变化太快，因此我们需要更平滑的曲线。
以下将介绍另一种极端的状况：币币等值。
币币等值：以 mStable 为例，在 mStable 这个协议中， 所有稳定币都是等价的，可以任意以 1 : 1 做交换，永远不会滑价，以数学来表示即为：

池内每种稳定币存量的总和为一定值

此模型称作恒定总量做市商 (Constant Sum Market Maker)。
mStable 中有五种稳定币，分别为：USDT、USDC、DAI、sUSD 及 TUSD。由于一次稳定币的交换仅与两个币种有关联，因此也可暂时将其他变数视为常数，函数图形如下：

以交换 USDC 及 DAI 为例

由于价格不会因供需而改变，因此当外部市场的稳定币间出现价差时，就会有人前来套利，直到其中一边的资金池枯竭为止，会使这些币种在池内失去流动性。

由上图可知，本该由五种稳定币组合而成的 mUSD，现在只剩下 USDC 及 TUSD 还有存量，其他币种皆被洗劫一空。
备注：此处仅以 mStable 的数据来举例 Constant Sum Market Maker 会遇到的问题，并非在表达 mStable 是个全然失败的协议。其实 mStable 还有提出自己的应用场景及相关解决方案，如治理代币 Meta (MTA) 在稳定币脱钩时能起到保护资产的功能，至于实际效果如何……
Curve 并非是为了改进 mStable 而出现的，实际上是先有 Curve，才有 mStable。

Curve 以一些数学技巧，结合了上述两种模型的优点，以下将一步步推导，说明方程式怎么来的。
蓝线曲率太大，价格变化过快；绿线则太直，价格毫无弹性。较理想的稳定币交换模型是建构出介于两者之间的函数。

x(池内USDC数量），Y（池内DAI数量）

P 点为两曲线之交点，此时 USDC 与 DAI 的存量皆为 D/2。将 P 点带入方程式即可求出两式之常数 k。

想要建构出介于两者之间的函数，最简单的方式就是对两式做加权平均。但由于二式的因次(Dimension，或称单位) 不同，所以相加时除了分别设权重为β 及α 之外，还要在下式多乘上D，使两式的因次皆为[数量×数量] 。

加权平均后之方程式

调整α 及β 的大小即可决定新函数的特性要偏向Constant Product 还是Constant Sum，但实际上真正决定新函数特性的是α 及β 的比例，因此我们可以将上式左右同除β ，并将α/β 设成χ。

接着简单分析一下权重大小对此函数的影响。
当 α = 0 或者 α β 时，χ ＝ 0，方程式退化回 Constant Product；
当 β = 0 或者 α β 时，χ ＝ ∞，方程式退化回 Constant Sum。

x(池内USDC数量），Y（池内DAI数量）

到目前这步，我们已经设计出一条曲线，能在价格为 1 : 1 的位置附近稳定价格，有效降低价格的波动，且能透过参数的调整决定价格变化的幅度。但此模型目前仍有个缺陷。若我们希望价格越稳定，则曲线会越接近直线，此时就会面临和mStable 一样的问题：一旦出现较大的价差时，池内其中部分币种可能会被掏空，出现只能卖无法买的局面，使池内流动性剧减。

这种情况不会发生在 Uniswap 或 Balancer 上，在 Constant Product 模型中无论币价如何波动，池内永远都会有币能交易。为达成类似效果，我们希望当池内资产存量偏离平衡点时，曲线能恢复成 Contant Product 的性质——也就是离平衡点越远时，χ 要越小。
引入动态参数 (Dynamic Parameter)，为达成上述效果，我们首先观察下图：

横轴为池内 USDC 的数量 x，纵轴为 USDC 及DAI 的数量的乘积 xy。

上方虚线为 Constant Product 函数曲线的 xy 乘积，根据定义，该数值为常数。而 Constant Sum 函数及其他合成函数则是一条开口向下的曲线，该数值离平衡点越远会越小。
我们可以根据以上事实，重新定义 χ，使其成为动态的参数：

蓝色部分为动态参数，数值介于 0 与 1 之间

离平衡点越接近时，蓝色项越接近 1，函数调制效果最佳；
离平衡点越远离时，蓝色项越接近 0，函数退化回 Constant Product。
A 则为放大系数 (Amplification Coefficent)，决定此曲线在平衡点附近的曲率——也就是价格的稳定程度：A 越大，越不容易滑价。

将此动态参数带入后方程式变为：

经整理后：

再将其绘成图：

x(池内USDC数量），Y（池内DAI数量）  ；实线为动态参数，虚线为固定参数

由实线及虚线的比较可明显看出，在加上了动态参数后，偏离平衡点位置的将如同 Uniswap，永远都会存在一些些的流动性，池内资产不会归零。
为了方便说明，以上皆以池内仅 2 个币种做计算，理论上 Curve 池中一次能存入更多币种，因此我们可直接将上式推广至任意币种数量 i：

Curve 白皮书中的公式

终于，推导出 Curve 使用的公式了！
那 A 怎么决定？

如前所述，A 为放大系数，决定曲线了价格在 $1 附近的稳定程度，A 越大越不容易滑价。那越不容易滑价越好吗？不尽然。滑不滑价其实并非重点。

以流动性提供者的角度或协议收入角度来看，最大化手续费收入才是首要目标。最大化手续费需要最大化交易量，因此决定 A 值时要考量的是池内币价的波动率。若池内币种锚定 $1 时常不太稳定的话，则要选择较低的 A 值，以免一旦波动出现，池内就会有币种近乎被掏空，导致交易量大减。
初始的 A 值由开发团队以历史币价回测，经模拟后决定最佳化的数值。而服务上线后则可分析实际资金使用率，再经由 DAO 提案以调整 A 值*。根据 Curve Founder u0026 CEO Michael Egorov 的说法，A 值与币价的关系为：
approximately optimal A
= 1 / stdev(prices)
为了验证这个关系是否正确，我做了相关的计算：
首先要知道 Curve 做市模型恒等式上每个点的现价 (Spot Price, Mid Price)

先将方程式写成 explicit function y=f(x) 的形式，再对其微分并加负号，即可计算出现价

此处假设了三种不同的 A 值，取样平衡点附近 ±70% 的资料点去计算价格的标准差。由图上的资料可看出，计算结果与 Michael 的描述相当一致，因此我们只要观察 A 值的大小，就能简单判断此池容许币价波动的程度。
*调整 A 值的过程若不当，会创造出巨大风险，让攻击者有机会夺取池内资金， Curve 有一个严重的漏洞，该漏洞经过数间专业公司的合约审计都没被发现。这提醒了所有参与者要特别注意风险的控管，不要看到一审计过了就放心的梭哈。

滑价探讨的是一次交易使价格改变的程度，单笔交易的量体越大对价格的影响越大。一般而言，池内资产越多则价格越不容易变化。除此之外，Curve 还透过 A 值来调整曲线在 $1 附近的形状，放大了$1 附近的交易深度。
成交价格 (Trading Price, Effective Price) 的计算方式如下：

以上计算假设交易前池内各资产为平衡状态（也就是 x_0 = y_0 = D/2），再计算大额交易导致的价格变化。
由图可见，Uniswap 的模型很不适合做稳定币交易，Curve 则可透过 A 值的调整有效的放大 $1 附近的交易深度。

交易深度是交易所的根本，要有足够的深度才能降低滑价，以提供更好的交易环境。为了吸引资金投注提供流动性，Curve 提供了以下几种奖励作为诱因：
手续费收入
每笔交易都会收取 0.04% 的手续费，其中一半给流动性提供者，另一半为 admin fee 会分给 CRV 的持有者，实际分配分配方式由 DAO 决定。

目前给个池的手续费皆相同。 source: https://www.curve.fi/compound

借贷协议及收益聚合器
Curve 中有许多不同的资金池，有些池 (Compound Pool u0026 USDT Pool) 会将资金放至 Compound 中，如此一来除了能赚取交易手续费之外，还可以收到 Compound 产生的借贷利息。

以 Compound 池为例，该池部分 APY 收益源自手续费收入 + lending 利息。 source: https://www.curve.fi

值得特别注意的是，有些池虽然会将资金放到 Compound 中，但目前这两个 Compound 池无法领取 COMP，那些挖出来的 COMP 被永久的锁在合约内。 Curve Dev 已开发完成能领取 COMP 的新合约，目前在审计中。
除了 Compound 外还可选择收益聚合器池 (如 Y Pool 或 PAX Pool)，此类池会在动态将资金放至的市场上收益最高的协议。此类池以 DeFi 乐高的方式堆叠出了额外的收益，伴随而来的是额外的风险，在 Curve Deposit 的页面中都会特别说明每个池的潜在风险，使用上需要审慎评估。
另外，由于任何资金的进出都需与其他协议互动，因此无论是存/取款或者交易，都需耗费较高的 gas fee，这对于流动性提供者或交易者也都是负面的影响。

CRV 奖励
目前只要在 Curve 中提供流动性就能持续获得 CRV 作为奖励。而 CRV 为 Curve 的治理代币，持有者可参与 Curve 的治理及分润协议收入。

网页上显示的 APY 为一个范围「+16.28% to 40.70% CRV」，实际能领取的数字取决于个人 CRV 的锁仓量与锁仓时间。以图上的例子来说，最低 APY 16.28%，经锁仓后最高可变为 2.5 倍的 40.70% 。

以 Compound 池为例，APY 的数字会根据 CRV 的现价即时调整。 source: https://www.curve.fi

Curve 的数学模式允许池内存在任意数量的币种，那为什么不把所有的币都放到同个池子内，集中手续费收入呢？
要是因为任何可能原因使 USDT 与 USD 严重脱钩，迅速贬值，那 Curve 池会发生什么事？

由于 Curve 的 AMM 机制是强制让价格稳定于 1 美元附近，会无视外部市场对 USDT 的定价，所以当 USDT 归零时大家就会跑来 Curve 交易，把 USDT 换成其他仍具价值的稳定币。这会使池内其他稳定币近乎被掏空，只剩下大量的 USDT。如此一来，流动性提供者仅能换回大量且没价值的 USDT，将承受极大的损失。
由上说明可知，池内一次存在太多种币种是非常危险的，只要其中一个稳定币崩盘，就会连带影响池内其他币种。简单来说就是，一颗老鼠屎会坏了整个池。
此外还有个问题。以 Curve 目前的设计来说，流动池一旦开启，就无法增加/减少池内币种，若想要上架一个新的稳定币，则必须建立新合约，开启新的资金池。但开太多池会使 DIA、USDC、USDT 等常见稳定币太过于分散，可能会使每个池的流动性都不佳，为解决这些问题， Curve 提出了 Base/MetaPools 这概念。

BasePools u0026 MetaPools
先以示意图来说明：

MetaPool 是一种依附于 Base Pool 的池，可与 Base Pool 共享部分流动性，且有效分割风险。这样能在不直接稀释主流稳定币的情况下，替其他小币创造交易深度。目前 Curve 唯一的 Base Pool 为 3pool，由共识最强的三种稳定币 DAI、USDC 及 USDT 所组成。
以下以数字说明该池如何运作：
假设现在 3pool 内共有 100 DAI + 100 USDC + USDT，且共发行了 300 个 3CRV（此为 3pool 的 LP token）。且我将手中的 30 个 3CRV （占总体 10%）存入 HUSD Pool 这个 MetaPool 中，换取 husd3CRV (HUSD Pool 的 LP token)。
此时 HUSD Pool 内除了有 HUSD 之外，还会与 3pool 共享这 10% 的流动性（包含 30 DAI + 30 USDC + 30 USDT）。
对于 MetaPool 的流动性提供者来说，这种做法的优缺点如下：

优点：更高的收益
可以同时赚取 Base u0026 MetaPools 双边的交易手续费。但无法同时赚取两边的 CRV， 因为要产生 CRV 奖励必须将 LP token 质押至 Gauge。

缺点：更大的风险
若是 HUSD 不幸崩盘，则 HUSD pool 中的 DAI、USDC 及 USDT 将被洗劫一空，仅剩 HUSD 在池内，如此一来 3pool 就会失去这 10% 的流动性。但这并不会影响到另外 270 个 3CRV 的持有者，他们仍然握有另外 90% 的资金。
简单来说就是 3CRV 的持有者可以自由选择是否要曝险于其他的稳定币上，以换取更高的收益，这种做法能让较新或较小的稳定币更容易地获得流动性。
每个池的价格及深度都不同，要如何交易？
作为一个交易者，最重要的是成交于最好的价格。在 Curve 中你仅需要简单的选取自己要交易的币种，并输入自己想交易的数量即可。网页前端会自动帮你在所有池中比价，并计算出最划算的交易方式，此做法与 Balancer 类似，当交易量较大时能同时在数个池做交换（见下图）。

上方选取币种并输入数量；中间选择想互换的池；下方输入滑价上限及 gas fee。网页前端会自动计算出最划算的交易方式。

会有无常损失吗？
而作为一个流动性提供者，最在乎的可能会是 Impermanent Loss，若该损失大于手续费收入及挖矿奖励则会产生亏损。
Curve 只是个变形的 Uniswap，所以当币价变化时，流动性提供者当然也需承受 Impermanent Loss，且与 Uniswap 相比，Curve 的 Impermanent Loss 很大，也很小。
很大是因为：
由于 A 值的放大效果，一但价格偏离 $1 时，币价就会急速上升/下降，且两币种数量会急剧的变更不平衡。

很小是因为：
正常情况下稳定币不会在 -100% +300% 之间波动，±5% 会是较为合理的波动范围，因此我们改以此区间重绘上图：

由图可看出，在 A=1000 时，仅管币价 ±5% 波动，无常损失仍不会超过 -2.5%，该损失以目前的总体收益来说，回本赚钱绝对不是梦。

注意，此处分析仅为粗估，供数字数量级做参考。
以上计算要成立有两个假设：
1. 池内仅有 2 种稳定币。
2. 增加流动性时池内资产在平衡状态，且等比例加入。
由于 Curve 的数学模型相对复杂，实际状况会比上述计算复杂得多，因此较难计算出每个情况下精确的数值，此处仅提供一个概念作参考。
所以到底要注意什么？
实际在增加/移除流动性时确实也不需考量到上述数学，只要你相信稳定币会在 $1 附近震荡，不会永远折价或溢价，那仅需记得一个原则就够了：

让池内各个币种数量越平衡越好。
若存入池内占比较少的币种，能立即获得额外收益；若存入池内占比较高的币种，则会因滑价而导致些许亏损。
实际数字会显示于存/取款界面如下方：

以图上例子来说，因为池内 DAI 存量较少，所以存入 DAI 会有 Bonus 0.732%。
此奖励并不是额外发放的，产生原因为目前 DAI 在池内价值高于 $1，因此存入 DAI 相当于将手上部分的 DAI 高价卖成更多的 USDC 及 USDT，此即收益的来源。而存入另外两种币相当于在低点出售该币种，会导致手上稳定币总量减少。
额外补充：Curve 收益统计

3pool 池内收益统计。 source: https://www.curve.fi/combinedstats

由上图统计表可看出，只要有人持续在交易，Curve 就能捕获价值以累积收益。蓝线收益以 real price 做计算，计价单位为 USDC。会上下震荡是由于池内稳定币的比例改变导致的价格浮动。黑线收益则是以 virtual price 做计算，该价格只涨不跌，且不随币价波动。代表的是当池内回到平衡状态时，每个 LP token 的价值。以数学是来表达即为：virtual price = D/(amount of LP tokens)。

单以做市机制设计来说，Curve 是个相当优良的稳定币互换协议，是一个有效率的稳定币交换系统，能根据市场现况弹性的调整参数，更加完善了 DeFi 的世界。

做研究写文章的过程对我而言是相当有趣的，总能从中发现许多巧妙且聪明的机制设计，且还能以分散式、全自动的方式在以太坊上永续运行。